Quien tramita el permiso de paternidad con la Seguridad Social?

Buenos dias
Hace unos meses abri un tema por una duda que tenia sobre que hacer si me pillaba de servicio el parto de mi mujer.
[Tienes que estar registrado y conectado para ver este vínculo]
Aqui quedo el tema solventado.

El caso es que a la semana siguiente del tema, me acerque con mi señora al INSS de Tarragona para irme informando de todo lo que debia tramitarse cuando naciera el niño.
Alli, muy amablemente, me dijeron que la cita previa solo podian darla por telefono desde las 14:15, porque estan muy saturados. Aun asi, informacion me comento lo que yo queria saber.
Cuando nazca el niño, tendre las 2 semanas de baja obligadas. No es una baja sino permiso por paternidad, por lo que se me suspende temporalmente el contrato, y paga entonces la SS. Quien ha de tramitarlo?

El empleado me comento que estas dos primeras semanas, yo le debo dar a la empresa los justificantes del hospital, y es la empresa la que debe enviarle al INSS la documentacion para tramitar que sea la SS quien pague esos 14 dias. Las otras 6 semanas, si que debo ser yo quien pida cita en la SS y solicite las fechas de los proximos permisos, pero que las 2 primeras semanas es la empresa quien debe hacerlo.

Asi que me fui con la idea de que es la empresa quien solventa el tema el primer permiso que tenga.

Pues nada, nace mi hijo el mes pasado, 25 de Septiembre. Le envio los papeles a mi empresa al dia siguiente por correo, y me dicen que ya lo han tramitado. Me envian el Informe de Datos que se le entrega al INSS por correo, y ya esta.
Pues me encuentro este mes que claro, mi empresa me paga a razon de los dias que he estado de alta, pero no he cobrado nada del INSS.
Miro en la seguridad social y vida laboral, y veo que no ha sido tramitado nada con ellos.
Llamo a mi empresa y me dicen que tenia que ir yo a la SS para tramitarlo.
Cuando? Si dan citas de mes en mes (mire el jueves 31, y me daban cita el 29 de Noviembre)

Le he comentado el tema a mi enlace sindical, y me dicen que si la SS me dijo que debia ser la empresa, que cuando vaya me lo den por escrito para hacer una reclamacion de demoras.

Siento la parrafada, solo es para poner en situacion por si alguien se ha encontrado en el punto parecido y me puede iluminar.
Quien debia gestionar el permiso? Porque yo dando esas fechas de mes a mes, como comprendereis me parece imposible hacerlo y mas cuando ya estas bastante ocupado registrando al niño en todos lados.

Gracias de antemano

Requisitos para disfrutar del permiso de paternidad

Todos los trabajadores por cuenta ajena, funcionarios o autónomos tienen derecho al permiso de paternidad. Estos son los requisitos que se deben cumplir:

   Estar dados de alta en la Seguridad Social.
   Haber cotizado un mínimo de 180 días durante los 7 años anteriores al comienzo del permiso, en su defecto al menos 360 días a lo largo de toda la vida laboral.

¿Cómo solicitar el permiso de paternidad?

Para solicitar el permiso de paternidad es necesario que la empresa en la que se trabaja haga un certificado de baja para el padre. En dicho certificado, deberá constar el sueldo de la última nómina para que así la Seguridad Social calcule la retribución que le corresponde al trabajador.

Cuando haya nacido el bebé, el padre debe personarse en cualquier oficina de la Seguridad Social y rellenar el Modelo solicitud prestación de paternidad. Junto al modelo, es necesario presentar la siguiente documentación:

  - Certificado de nacimiento del bebé
  - Original y fotocopia del DNI
  - Certificado de empresa
  - Última nómina
  - Libro de familia (original y fotocopia) o certificado literal de nacimiento
  - Número de cuenta en el que se quiere recibir la retribución

Fuente: sitly
Saludos y Enhorabuena.